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小学奥数数论问题的辅导思路

2018-1-29 11:35| 发布者: 花花同学会| 查看: 889| 评论: 0 |来自: 石家庄小升初

  题目:

  某4位数m是一个完全平方数,它的各位数字互不相同,各位数字和为n。其约数个数恰好等于n,且n也是完全平方数,而且m除以n也是完全平方数。请问m是多少?

  答案:2601。

  辅导办法:

  将题目写给小朋友,让他自行思考解答,若20分钟还不能解答,由家长进行讲解。

  讲解思路:

  这道题目属于数论综合问题,

  题目中给出的条件都很模糊

  最难的是寻找突破口。

  但看到约数个数4个字,

  就应该回想起我们昨天给出的知识点。

  以及由昨天的知识点推出的结论:

  所有的完全平方数,

  约数个数都是奇数个。

  步骤1:

  先思考第一个问题,

  约数个数n可能是多少?

  由于数字不同的4位数,

  数字和最大是30=6+7+8+9,

  数字和最小是6=0+1+2+3,

  又因为完全平方数的约数个数是奇数,

  而n本身也是完全平方数,

  故n只能是9或25。

  步骤2:

  再思考第二个问题,

  如果n是25能否满足题意?

  此时,由于25=5*5或1*25,

  根据约数个数的计算方法,

  对此进行讨论:

  (1)当n分解为1*25时,

  m只能是某个素数的24次方,

  而2的24次方都远不止4位数,

  不可能;

  (2)当n分解为5*5时,

  m只能是某两个素数a,b的4次方相乘,

  由于m是n=25的整数倍,

  故a,b中有一个是5,不妨设b=5,

  则m=625*a^4,

  因为625*2^4=10000,

  故m不可能是4位数,

  也不满足。

  所以,n不可能是25。

  步骤3:

  再思考第二个问题,

  如果n是9能否满足题意?

  此时,由于9=3*3或1*9,

  根据约数个数的计算方法,

  对此进行讨论:

  (1)当n分解为1*9时,

  m只能是某个素数的8次方,

  而m是9的倍数,

  这个素数只能是3,

  但3的8次方是6561,

  有重复数字,

  与题目要求矛盾;

  (2)当n分解为3*3时,

  m只能是某两个素数a,b的平方相乘,

  由于m是n=9的整数倍,

  故a,b中有一个是3,不妨设b=3,

  则m=9*a^2,

  要使m是4位数,

  由于9*10^2=900,

  9*34^2=10404,

  故a只能是11-33之间的素数,

  a的取值可能是11,13,17,19,23,29或31,

  代入验证,

  只有a=17时,

  m=2601满足题意。

  所以,m=2601。

  注:此处也可以根据数字和是9的数字不同的4位数最大是6210进一步缩小a的范围。


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