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小学奥数辅导思路:超难奥数题解析

2018-2-12 09:58| 发布者: 花花同学会| 查看: 1625| 评论: 0 |来自: 石家庄小升初网

  某国家小学5年级的所有学生被要求在9天内必须完成9篇不同的作文,每天最少写1篇,最多写2篇,写完就可以不写了。王老师说:至少有3名同学完成作文的方式是一样的。请问该国家至少有多少名5年级学生?

  答案:39916801。

  这答案数量级够大吧?

  完全出乎想象。

  辅导办法:

  将题目写给小朋友,让他自行思考解答,若20分钟还不能解答,由家长进行讲解。

  讲解思路:

  题目中含有至少两字,

  属于极端构造问题。

  关于极端构造问题,

  要先考虑极端情况是什么,

  然后通过极端情况列出数学表达式。

  本题中还结合了排列组合与爬楼梯问题。

  步骤1:

  先思考第一个问题,

  极端情况是什么?

  这个极端其实类似于鸽笼原理,

  通俗的说就是5个鸽子放进2个鸟笼,

  至少有1个鸟笼中有3只鸽子。

  也就是说,

  要使完成作文的方式尽量平均,

  当完成作文的方式有n种时,

  学生数有2n+1。

  那么问题的难点就在于求完成作文的方式。

  步骤2:

  再思考第二个问题,

  如果不考虑天数的影响,

  完成作文的顺序有多少种?

  这个问题也比较简单,

  就是对9篇作文进行排序,

  即9*8*…*2*1=362880。

  步骤3:

  再思考第三个问题,

  当作文顺序固定时,

  完成作业的方式有多少种?

  当作文顺序固定时,

  完成作文的问题就是爬楼梯问题,

  解法是递推思维。

  假设9篇作文的完成方式为f(9),

  n篇作文的完成方式为f(n),

  考虑最后一天的完成量,

  最后一天可能写1篇,也可能写2篇,

  由加法原理,f(9)=f(8)+f(7),

  类似的f(n)=f(n-1)+f(n-2),

  因此,可以用递推的方法求解f(9)。

  显然,f(1)=1,f(2)=2,

  f(n)数列的每一项都是前两项的和,

  数列是:1,2,3,5,8,13,21,34,55…

  所以f(9)=55。

  步骤4:

  综合上述几个问题。

  完成12篇不同作文分为两步:

  第一步先排序,

  第二步求解排序后的方式。

  由乘法原理,

  12篇作文的完成方式是362880*55=19958400。

  由步骤1的结论,

  学生数至少是39916801=2*19958400+1。

  注:上面这种每一项都等于前2项之和的数列叫斐波那契数列。


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