题目(超5星难度): 有一类四位数,十位和个位组成的两位数是千位和百位组成两位数的2倍,且这个四位数有24个约数。请问满足条件的四位数共有多少个? 答案:15个。 辅导办法: 将题目写给小朋友,让他自行思考解答,若20分钟还不能解答,由家长进行讲解。 讲解思路: 这道题目中带有约数个数,我们曾经讲过,所有约数问题的题目都需要这个知识点: 在熟练掌握这个知识点的基础上,假设千位和百位构成的两位数是a,则十位和个位组成的两位数是2*a,则这个四位数是100*a+2*a=102*a。 步骤1: 先思考第一个问题,a的范围是什么?由于a和2*a都是两位数,因此a的范围在10到49之间。 步骤2: 再思考第二个问题,这个四位数可能有几个质数约数? 因为102=2*3*17, 因此这个四位数至少有3个质数约数;又因为24=2*2*2*3, 应用上面的知识点,这个四位数最多有4个质数约数,所以四位数可能有3或4个质数约数。 步骤3: 再思考第三个问题,这个四位数有3个质数约数时,这个四位数可能是多少? 应用约数个数的知识点,这时24应写成3个数相乘,有2*2*6,2*3*4这两种可能,分别进行讨论: 情况1,当24=2*2*6时,质数约数出现次数是1,1和5,只能有2、3、17共3个质数约数,且由于四位数=2*3*17*a,考虑到a的范围, 只能是2出现5次,此时a=2^4=32,四位数是3264; 情况2,当24=2*3*4时,质数约数出现次数是1,2和3,只能有2、3、17共3个质数约数,且由于四位数=2*3*17*a,类似考虑a的范围, 17只能是出现1次,2和3都可以出现2次或3次, a=2*3^2=18 或a=3*2^2=12, 四位数是1836或1224。 所以3个质数约数时,四位数可能是3264、1836或1224共3个。 步骤4: 再思考第四个问题,这个四位数有4个质数约数时,这个四位数可能是多少? 应用约数个数的知识点,这时24应写成4个数相乘, 即24=2*2*2*3, 已经有2、3、17共3个质数约数,假设剩下的一个是p。 这4个约数在乘积中出现次数1、1、1、2。 分情况讨论: 情况1,当2出现2次时,a=2*p,注意到a的范围是10-49, p可能是5,7,11,13,19,23,此时a是10,14,22,26,38,46, 四位数是1020,1428,2244,2652,3876,4692; 情况2,当3出现2次时, a=3*p,注意到a的范围是10-49, p可能是5,7,11,13,此时a是15,21,33,39, 四位数是1530,2142,3366,3978; 情况3,当p出现2次时, a=p*p, 注意到a的范围是10-49,p可能是5,7,此时a是25,49,四位数是2550,4998。 所以4个质数约数时,四位数可能是上述12个。 (注:17不可能出现2次) |