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题目(超5星难度)： 有一类四位数，十位和个位组成的两位数是千位和百位组成两位数的2倍，且这个四位数有24个约数。请问满足条件的四位数共有多少个? 答案：15个。 辅导办法: 将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答，由家长进行讲解。 讲解思路： 这道题目中带有约数个数，我们曾经讲过，所有约数问题的题目都需要这个知识点： 在熟练掌握这个知识点的基础上，假设千位和百位构成的两位数是a，则十位和个位组成的两位数是2*a，则这个四位数是100*a+2*a=102*a。 步骤1： 先思考第一个问题，a的范围是什么?由于a和2*a都是两位数，因此a的范围在10到49之间。 步骤2： 再思考第二个问题，这个四位数可能有几个质数约数? 因为102=2*3*17， 因此这个四位数至少有3个质数约数;又因为24=2*2*2*3， 应用上面的知识点，这个四位数最多有4个质数约数，所以四位数可能有3或4个质数约数。 步骤3： 再思考第三个问题，这个四位数有3个质数约数时，这个四位数可能是多少? 应用约数个数的知识点，这时24应写成3个数相乘，有2*2*6，2*3*4这两种可能，分别进行讨论： 情况1，当24=2*2*6时，质数约数出现次数是1，1和5，只能有2、3、17共3个质数约数，且由于四位数=2*3*17*a，考虑到a的范围， 只能是2出现5次，此时a=2^4=32,四位数是3264; 情况2，当24=2*3*4时，质数约数出现次数是1，2和3，只能有2、3、17共3个质数约数，且由于四位数=2*3*17*a，类似考虑a的范围， 17只能是出现1次，2和3都可以出现2次或3次， a=2*3^2=18 或a=3*2^2=12, 四位数是1836或1224。 所以3个质数约数时，四位数可能是3264、1836或1224共3个。 步骤4： 再思考第四个问题，这个四位数有4个质数约数时，这个四位数可能是多少? 应用约数个数的知识点，这时24应写成4个数相乘， 即24=2*2*2*3， 已经有2、3、17共3个质数约数，假设剩下的一个是p。 这4个约数在乘积中出现次数1、1、1、2。 分情况讨论： 情况1，当2出现2次时，a=2*p，注意到a的范围是10-49， p可能是5，7，11，13，19，23，此时a是10，14，22，26，38，46， 四位数是1020，1428，2244，2652，3876，4692; 情况2，当3出现2次时， a=3*p，注意到a的范围是10-49， p可能是5，7，11，13，此时a是15，21，33，39， 四位数是1530，2142，3366，3978; 情况3，当p出现2次时， a=p*p， 注意到a的范围是10-49，p可能是5，7,此时a是25,49，四位数是2550,4998。 所以4个质数约数时，四位数可能是上述12个。 (注：17不可能出现2次) |
