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小学奥数辅导思路解析:约数个数的奥数题

2018-4-20 11:06| 发布者: 花花同学会| 查看: 164| 评论: 0 |来自: 石家庄小升初

  题目(超5星难度):   有一类四位数,十位和个位组成的两位数是千位和百位组成两位数的2倍,且这个四位数有24个约数。请问满足条件的四位数共有多少个?   答案:15个。   辅导办法:   将题目写给小朋友, ...

  题目(超5星难度):

  有一类四位数,十位和个位组成的两位数是千位和百位组成两位数的2倍,且这个四位数有24个约数。请问满足条件的四位数共有多少个?

  答案:15个。

  辅导办法:

  将题目写给小朋友,让他自行思考解答,若20分钟还不能解答,由家长进行讲解。

  讲解思路:

  这道题目中带有约数个数,我们曾经讲过,所有约数问题的题目都需要这个知识点:

  在熟练掌握这个知识点的基础上,假设千位和百位构成的两位数是a,则十位和个位组成的两位数是2*a,则这个四位数是100*a+2*a=102*a。

  步骤1:

  先思考第一个问题,a的范围是什么?由于a和2*a都是两位数,因此a的范围在10到49之间。

  步骤2:

  再思考第二个问题,这个四位数可能有几个质数约数?

  因为102=2*3*17,

  因此这个四位数至少有3个质数约数;又因为24=2*2*2*3,

  应用上面的知识点,这个四位数最多有4个质数约数,所以四位数可能有3或4个质数约数。

  步骤3:

  再思考第三个问题,这个四位数有3个质数约数时,这个四位数可能是多少?

  应用约数个数的知识点,这时24应写成3个数相乘,有2*2*6,2*3*4这两种可能,分别进行讨论:

  情况1,当24=2*2*6时,质数约数出现次数是1,1和5,只能有2、3、17共3个质数约数,且由于四位数=2*3*17*a,考虑到a的范围,

  只能是2出现5次,此时a=2^4=32,四位数是3264;

  情况2,当24=2*3*4时,质数约数出现次数是1,2和3,只能有2、3、17共3个质数约数,且由于四位数=2*3*17*a,类似考虑a的范围,

  17只能是出现1次,2和3都可以出现2次或3次,

  a=2*3^2=18

  或a=3*2^2=12,

  四位数是1836或1224。

  所以3个质数约数时,四位数可能是3264、1836或1224共3个。

  步骤4:

  再思考第四个问题,这个四位数有4个质数约数时,这个四位数可能是多少?

  应用约数个数的知识点,这时24应写成4个数相乘,

  即24=2*2*2*3,

  已经有2、3、17共3个质数约数,假设剩下的一个是p。

  这4个约数在乘积中出现次数1、1、1、2。

  分情况讨论:

  情况1,当2出现2次时,a=2*p,注意到a的范围是10-49,

  p可能是5,7,11,13,19,23,此时a是10,14,22,26,38,46,

  四位数是1020,1428,2244,2652,3876,4692;

  情况2,当3出现2次时,

  a=3*p,注意到a的范围是10-49,

  p可能是5,7,11,13,此时a是15,21,33,39,

  四位数是1530,2142,3366,3978;

  情况3,当p出现2次时,

  a=p*p,

  注意到a的范围是10-49,p可能是5,7,此时a是25,49,四位数是2550,4998。

  所以4个质数约数时,四位数可能是上述12个。

  (注:17不可能出现2次)


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