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六年级奥数题解析:容斥原理问题

2017-10-4 10:33| 发布者: 花花同学会| 查看: 639| 评论: 0 |来自: 石家庄小升初网

  1. 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )

  A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11

  解:根据容斥原理最小值68+43-100=11

  最大值就是含铁的有43种

  2.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )

  A,5 B,6 C,7 D,8

  解:根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类:只答第1题,只答第2题,只答第3题,只答第1、2题,只答第1、3题,只答2、3题,答1、2、3题。

  分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123

  由(1)知:a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①

  由(2)知:a2+a23=(a3+ a23)×2……②

  由(3)知:a12+a13+a123=a1-1……③

  由(4)知:a1=a2+a3……④

  再由②得a23=a2-a3×2……⑤

  再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥

  然后将④⑤⑥代入①中,整理得到

  a2×4+a3=26

  由于a2、a3均表示人数,可以求出它们的整数解:

  当a2=6、5、4、3、2、1时,a3=2、6、10、14、18、22

  又根据a23=a2-a3×2……⑤可知:a2>a3

  因此,符合条件的只有a2=6,a3=2。

  然后可以推出a1=8,a12+a13+a123=7,a23=2,总人数=8+6+2+7+2=25,检验所有条件均符。

  故只解出第二题的学生人数a2=6人。

  3.一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格,那么这次考试的合格率至少是多少?

  答案:及格率至少为71%。

  假设一共有100人考试

  100-95=5

  100-80=20

  100-79=21

  100-74=26

  100-85=15

  5+20+21+26+15=87(表示5题中有1题做错的最多人数)

  87÷3=29(表示5题中有3题做错的最多人数,即不及格的人数最多为29人)

  100-29=71(及格的最少人数,其实都是全对的)

  及格率至少为71%


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