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小学升学奥数知识点解析:行程问题

2017-11-26 09:46| 发布者: 花花同学会| 查看: 1098| 评论: 0 |来自: 石家庄小升初

  近些年来,在诸多学校小学升学的选拔考试中,行程问题逐渐占据应用题的大半江山。但大部分学生对于行程问题都感到非常头疼,那么为什么说行程问题是小学升学考试中难度最大的一类题目呢?主要有以下三个方面的原因:

  一、类型多:

  行程分类细,变化多,工程抓住工作效率和比例关系,而行程每个类型重点不一,因此没有一个关键点可以抓。

  二、题目难:

  理解题目、动态演绎推理——静态知识容易学,动态分析需要较高的理解能力、逻辑分析和概括能力。

  三、跨度大:

  从三年级到六年级都要学行程——四年的跨度,需要不断的复习巩固来加深理解、夯实基础。

  那么想要学好行程问题,需要掌握哪些必备的要诀呢?

  要诀一:大部分题目有规律可依,主要是"学透"基本公式

  要诀二:无规律的题目有"攻略",一画(画图法)二抓(比例法、方程法)

  行程问题的模块中有相遇问题、追及问题等近十种,是问题类型较多的题型之一。 行程问题包含多人行程、二次相遇、多次相遇、火车过桥、流水行船、环形跑道、钟面行程、走走停停、接送问题等。今天我们来讲讲几道经典的行程问题。最后行程问题无论怎么变化,都离不开“三个量,三个关系”,只要牢牢把握这三个量以及它们之间的三种关系,就会发现其实解决行程问题是非常简单的。

  三个量是:路程(s)、速度(v)、时间(t)

  三个关系:

  1.简单行程:路程=速度×时间

  2.相遇问题:路程和=速度和×时间

  3.追击问题:路程差=速度差×时间

  相遇追及问题

  【例1】甲乙丙三人同时从东村去西村,甲骑自行车每小时比乙快12公里,比丙快15公里,甲行3.5小时到达西村后立刻返回。在距西村30公里处和乙相聚,问:丙行了多长时间和甲相遇?

  分析题意:

  1.在距离西村30公里处甲与乙相遇,则可知甲比乙多走了60公里。

  2.根据已知的速度差和路程差,可以求得甲与乙的相聚时间。

  3.根据已求出的时间可继续得出甲和丙的速度,继而得出东西村的距离。

  4.最后已知甲和丙的路程以及速度和,便可求出丙和甲的相遇时间。

  解答过程:

  解:甲乙相聚时间:60×2÷12=5(小时)

  甲从西村到与乙相聚用时:5-3.5=1.5(小时)

  甲速度:30÷1.5=20(公里/小时)

  丙速度:20-15=5(公里/小时)

  东村到西村距离:20×3.5=70(公里)

  甲与丙的相遇时间:(70×2)÷(20+5)=5.6(小时)

  答:丙行了5.6小时才能与甲相遇。

  重难点:多人行程---这类问题主要涉及的人数为3人,题目主要考察的就是求前两个人相遇或追及的时刻,或第三个人的位置。解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的关系。

  过桥问题

  火车过桥问题是行程问题的一种,也有路程、速度与时间之间的数量关系,同时还涉及车长、桥长等问题。基本数量关系是:火车速度×时间=车长+桥长。关于火车过桥问题主要有三种题型,下面我们将详细讲解这三种经典的火车过桥题型。

  (1)基本题型:这类问题需要注意两点:火车车长记入总路程;重点是车尾:火车与人擦肩而过,即车尾离人而去。主要公式:火车速度×时间=车长+桥长

  【例2】一列火车长150米,每秒钟行19米。全车通过长800米的大桥,需要多少时间?

  分析题意:这是一道典型的基本火车过桥题型。列车过桥,就是从车头上桥到车尾离桥止。车尾经过的距离=车长+桥长,车尾行驶这段路程所用的时间用车长与桥长和除以车速。

  解答过程:

  解: (800+150)÷19=50(秒)

  答:全车通过长800米的大桥需要50秒。

  (2)错车或者超车:看哪辆车经过,路程和或差就是哪辆车的车长。

  主要公式:错车时间=车身长的和÷ 速度和

  超车时间=车身长的和÷速度差

  【例3】某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米的铁桥用23秒,该列车与另一列长320米,速度为每小时行64.8千米的火车错车时需要多少秒?

  分析题意:两辆火车之间的问题便是题型2的错车或超车问题。

  1、根据公式:错车时间=车身长的和÷ 速度和,要求错车时间,必须知道两辆车的车身长以及两车的速度和。

  2、先求两车的速度:由题可知火车的速度,所以主要求列车的速度,由题给的条件可求出火车速度。(路程差÷ 时间差=火车车速)

  3、再求两辆车的车身长:题目已知火车身长320米,所以主要是求列车的身长。上一步已求出列车的车速,根据车速可求出列车的车身长。

  4、车身长的和以及速度和都已求出,便可根据公示直接算出错车时间。

  解题过程:

  解:列车车速:(250-210)÷(25-23)=20(米/秒)

  列车车长为:20×25-250=250(米)

  火车每小时行64.8千米,则每秒的速度为18米/秒

  所以该列车与另一列长320米,速度为每小时行64.8千米的火车错车时需要的时间为:(320+250)÷(18+20)=15(秒)

  答:所以该列车与另一列火车错车时需要的时间为15秒。

  (3)综合题:用车长求出速度;虽然不知道总路程,但是可以求出某两个时刻间两人或车之间的路程关系。

  【例4】甲、乙两人分别沿铁轨反向而行,此时,一列火车匀速地向甲迎面驶来,列车在甲身旁开过,用了15秒,然后在乙身旁开过,用了17秒,已知两人的步行速度都是3.6千米/小时,这列火车有多长?

  分析题意:该题涉及到火车与两个人的行程问题,这是一道较复杂型的综合题。

  1.甲与火车是一个相遇问题,两者行驶路程的和是火车的长。

  2.乙与火车是一个追及问题,两者行驶路程的差是火车的长。

  3.因此,根据甲与火车相遇计算火车的长和乙与火车追及计算火车的长,以及两种运算结果火车的长不变,可以用解方程来解决该问题。

  解题过程:

  解:设这列火车的速度为χ米/秒。两人的步行速度3.6千米/小时=1米/秒,甲与火车相遇时火车的长为(15χ+1×15)米,乙与火车追及火车的长为(17χ-1×17)米。

  15χ+1×15=17χ-1×17

  χ=16

  火车长为:17×16-1×17=255(米 )

  答:故火车的长为255米。

  流水行船问题

  定义:船在水中航行时,除了自身的速度外,还受到水流的影响,在这种情况下计算船只的航行速度、时间和行程,研究水流速度与船只自身速度的相互作用问题,叫作流水行船问题。

  流水行船问题有以下两个基本公式:

  (1)顺水速度=船速+水速

  (2)逆水速度=船速-水速

  船速是指船本身的速度,也就是在静水中单位时间里所走过的路程;水速:是指水在单位时间里流过的路程.顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程。

  流水行船问题衍生公式:

  (1)船速=(顺水速度+逆水速度)÷2

  (2)水速=(顺水速度-逆水速度)÷2

  【例5】甲、乙两港间的水路长208千米,一只船从甲港开往乙港,顺水8小时到达,从乙港返回甲港,逆水13小时到达,求船在静水中的速度和水流速度。

  分析题意:

  1.要求出船在静水中的速度和水速,根据公式要先求出顺水速度和逆水速度。

  2.顺水速度和逆水速度可以根据基本公式求出。

  解题过程:

  解: 顺水速度:208÷8=26(千米/小时)

  逆水速度:208÷13=16(千米/小时)

  船速:(26+16)÷2=21(千米/小时)

  水速:(26-16)÷2=5(千米/小时)

  答:船在静水中的速度为每小时21千米,水流速度每小时5千米。

  【例6】一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港,然后调头逆流向上到达中游的乙港,共用了12小时。已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍,水流速度是每小时2千米,从甲港到乙港相距18千米。则甲、丙两港间的距离为多少千米?

  分析题意:

  1.根据公式:顺流速度-逆流速度=2×水流速度,顺流速度=2×逆流速度,可知:顺流速度=4×水流速度=8千米/时,逆流速度=2×水流速度=4千米/时

  2.题目要求距离,并且已经通过题目找到等量关系,可以设未知数列方程解题。

  解题过程:

  解:设甲、丙两港间的距离为X千米。

  X÷8+(X-18)÷4=12

  X=44

  答:甲、丙两港之间的距离为44千米。


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